Question

【題目】已知函數 ．
（1）若x≥0時，f（x）≤0，求λ的最小值；
（2）設數列{an}的通項an=1+ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知，f（0）=0，

f′（x）= = ，

∴f′（0）=0

欲使x≥0時，f（x）≤0恒成立，則f（x）在（0，+∞）上必為減函數，即在（0，+∞）上f′（x）＜0恒成立，

當λ≤0時，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，為增函數，故不合題意，

若0＜λ＜ 時，由f′（x）＞0解得x＜ ，則當0＜x＜ ，f′（x）＞0，所以當0＜x＜ 時，f（x）＞0，此時不合題意，

若λ≥ ，則當x＞0時，f′（x）＜0恒成立，此時f（x）在（0，+∞）上必為減函數，所以當x＞0時，f（x）＜0

恒成立，

綜上，符合題意的λ的取值范圍是λ≥ ，即λ的最小值為

（2）解：令λ= ，由（I）知，當x＞0時，f（x）＜0，即

取x= ，則

于是a2n﹣an+ = + +…+ +

=

=

=

= ＞ =ln2n﹣lnn=ln2

所以

【解析】（1）由于已知函數的最大值是0，故可先求出函數的導數，研究其單調性，確定出函數的最大值，利用最大值小于等于0求出參數λ的取值范圍，即可求得其最小值；（2）根據（1）的證明，可取λ= ，由于x＞0時，f（x）＜0得出 ，考察發現，若取x= ，則可得出 ，以此為依據，利用放縮法，即可得到結論
【考點精析】關于本題考查的函數的最大(小)值與導數和數列的前n項和，需要了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能得出正確答案．