Question

【題目】對于定義域為D的函數，若存在區間，使得同時滿足，①在上是單調函數，②當的定義域為時，的值域也為，則稱區間為該函數的一個“和諧區間”

（1）求出函數的所有“和諧區間”；

（2）函數是否存在“和諧區間”？若存在，求出實數a，b的值；若不存在，請說明理由

（3）已知定義在上的函數有“和諧區間”，求正整數k取最小值時實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1），，；（2）不存在；理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據“和諧”函數的定義，建立條件關系，即可求符合條件的“和諧”區間；

（2）判斷函數是否滿足“和諧”函數的條件即可；

（3）根據函數是“和諧”函數，建立條件關系，即可求實數的取值范圍．

（1）因為函數在上單調遞增，

所以有或或；

即或或．

（2）畫出函數的圖象

由圖可知函數在 ， 上單調遞增，在上單調遞減；

且函數值域為，故在上不存在 “和諧區間”；

假設函數在區間存在 “和諧區間”，則 方程組無解，假設不成立；同理可得函數在區間也不存在 “和諧區間”。

故函數不存在 “和諧區間”。

（3）在上有“和諧區間”，

所以存在區間，使函數的值域為，

函數在上單調遞增

在單調遞增，即，

為關于的方程的兩個實根，即方程在上有兩個不等的實根，即在上有兩個不等的實根，令

與，問題轉化為函數與，在上存在兩個不同的交點.

考察函數如圖

函數在單調遞減，在上單調遞增.

，且，

∵函數在上遞減，當時，直線與函數不可能有兩個交點，∴

∵在遞增，由圖象可知，當時，函數與在存在兩個交點，

所以正整數的最小值為，，此時，，解得.

故.