Question

如圖，已知拋物線：和⊙：，過拋物線上一點作兩條直線與⊙相切于、兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為．

（1）求拋物線的方程；
（2）當的角平分線垂直軸時，求直線的斜率；
（3）若直線在軸上的截距為，求的最小值．

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

解析試題分析：本題考查拋物線、圓的標準方程以及直線與拋物線、圓的位置關系，突出解析幾何的基本思想和方法的考查：如數形結合思想、坐標化方法等.第一問，據點到準線的距離為，直接列式求得，得到拋物線的標準方程；第二問，據條件的角平分線為，即軸，得，而，關于對稱，所以，利用兩點斜率公式代入得，所以求得；第三問，先求直線的方程，再求的方程，令，可得到，利用函數的單調性求函數的最值.
試題解析：（1）∵點到拋物線準線的距離為，
∴，即拋物線的方程為．
（2）法一：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，
設，，
∴，  ∴ ，
∴．   ．
法二：∵當的角平分線垂直軸時，點，∴，可得，，∴直線的方程為，
聯立方程組，得，
∵  ∴，．
同理可得，，∴．
（3）法一：設，∵，∴，
可得，直線的方程為，
同理，直線的方程為，
∴，
，
∴直線的方程為，
令，可得，
∵關于的函數在單調遞增，  ∴．
法二：設點，，．
以為圓心，為半徑的圓方程為