Question

【題目】已知數(shù)列{an}滿足：an≠0，a1= ，an﹣an+1=2anan+1 ． （n∈N*）．
（1）求證：{ }是等差數(shù)列，并求出an；
（2）證明：a1a2+a2a3+…+anan+1＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：a1= ，an﹣an+1=2anan+1．可得

﹣ =2，則{ }是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，

= +2（n﹣1）=3+2（n﹣1）=2n+1，

即有an=

（2）證明：a1a2+a2a3+…+anan+1= + +…+

= （ ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ）

= （ ﹣ ）= ﹣ ＜

【解析】（1）兩邊除以anan+1 ， 由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式，即可得證，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到；（2）運(yùn)用數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解數(shù)列的前n項(xiàng)和(數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系)，還要掌握數(shù)列的通項(xiàng)公式(如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式)的相關(guān)知識(shí)才是答題的關(guān)鍵．