Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側面SBC⊥底面ABCD．已知∠ABC=45°，AB=2，BC=2

2

，SA=SB=

3

．
（1）證明：SA⊥BC；
（2）求直線SD與平面SAB所成角的大小；
（3）求二面角D-SA-B的大小．

Answer 1

分析：（1）根據條件中所給的兩兩垂直的三條直線建立坐標系，寫出要用的點的坐標，寫出

SA

，

CB

的坐標，根據求出兩個向量的數量積為0，得到兩個向量垂直．
（2）求線面角，寫出線對應的向量，求出一條直線與平面垂直，這是平面的一個法向量，根據兩個向量的夾角做出線與平面所成的角的正弦．
（3）要求兩個平面的二面角，需要做出兩個平面的法向量，根據上一問知道

OG

為平面SAB的法向量，只要求出面SDB的一個法向量，利用兩個法向量的夾角的余弦值，得到兩個向量的夾角．

解答：解：（1）作SO⊥BC，垂足為O，連接AO，由側面SBC⊥底面ABCD，得SO⊥平面ABCD．
因為SA=SB，所以AO=BO．
又∠ABC=45°，△AOB為等腰直角三角形，AO⊥OB
如圖，以O為坐標原點，OA為x軸正向，建立直角坐標系O-xyz
A(

2

，0，0)，B(0，

2

，0)，C(0，-

2

，0)，S（0，0，1），

SA

=(

2

，0，-1)，

CB

=(0，2

2

，0)，

SA

•

CB

=0，
所以SA⊥BC
（2）取AB中點E，E(

2

2

，

2

2

，0)，
連接SE，取SE中點G，連接OG，G(

2

4

，

2

4

，

1

2

)．

.

OG

=(

2

4

，

2

4

，

1

2

)，

.

SE

=(

2

2

，

2

2

，1)，

.

AB

=(-

2

，

2

，0)．

.

SE

•

.

OG

=0，

.

AB

•

.

OG

=0，
OG與平面SAB內兩條相交直線SE，AB垂直．
∴OG⊥平面SAB，

.

OG

與

.

DS

的夾角記為α，SD與平面SAB所成的角記為β，則α與β互余
D(

2

，2

2

，0)，

.

DS

=(-

2

，2

2

，1)．
cosα=

. OG • . DS

| . OG |•| . DS |

=

22

11

，
∴sinβ=

22

11

，
（3）由上知

OG

為平面SAB的法向量，

OG

=(

2

4

，

2

4

1

2

)
易得D（

2

，-2

2

，0）

DA

=(0，2

2

，0)，

SA

=(

2

，0，-1)
同理可求得平面SDA的一個法向量為

m

=(1，0，

2

)
∴cosθ=

m • OG

| m || OG |

=

3

2

由題知所求二面角為鈍二面角，故二面角D-SA-B的大小為150°．

點評：本題考查利用空間向量解決立體幾何問題，解題的關鍵是建立坐標系，寫出要用的點的坐標，進而寫出向量的坐標，然后進行向量的有關運算．