已知函數
的圖像過坐標原點
，且在點
處的切線的斜率是
．
（1）求實數
的值；
（2）求
在區間
上的最大值；
（3）對任意給定的正實數
，曲線
上是否存在兩點
，使得
是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在
軸上？請說明理由．
（1）
；（2）
在
上的最大值為
；（3）對任意給定的正實數
，曲線
上總存在兩點
，使得是以
為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊的中點在y軸上．
解析試題分析：（1）求實數的值，由函數
，由圖像過坐標原點，得
，且根據函數在點處的切線的斜率是，由導數幾何意義可得
，建立方程組，可確定實數的值，進而可確定函數的解析式；（2）求在區間
的最大值，因為
，由于是分段函數，可分段求最大值，最后確定最大值，當
時，
，求導得，
，令
，可得在
上的最大值為
，當
時，
．對討論，確定函數的單調性，即可求得結論；（3）這是探索性命題，可假設曲線
上存在兩點
滿足題設要求，則點只能在
軸兩側．設
的坐標，由此入手能得到對任意給定的正實數，曲線上存在兩點使得是以為直角頂點的直角三角形，且此三角形斜邊中點在軸上．
試題解析：（1）當
時，
則
（1分）
依題意，得
即
，解得． （3分）
（2）由（1）知，
①當時
令
得
或
（4分）
當
變化時
的變化情況如下表：
0
）
(x≠0，a∈R)．
ax2－(2a＋1)x＋2ln x，a∈R.
ax3－
x2＋cx＋d(a，c，d∈R)滿足f(0)＝0，f′(1)＝0，且f′(x)≥0在R上恒成立．
x2－bx＋
－
－1.
在
處存在極值.
的值；
的圖像上存在兩點A，B使得
是以坐標原點O為直角頂點的直角三角形，且斜邊AB的中點在
軸上，求實數
的取值范圍；
時，討論關于
的方程
的實根個數.
.
，且對于任意
恒成立，試確定實數
的取值范圍；
，