Question

（2009•濟寧一模）如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有的棱長都為2，∠A₁AC=60°
（Ⅰ）求證：A₁B⊥AC；
（Ⅱ）當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時，求平面A₁B₁C₁與平面ABC所成的銳角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC的中點O，連接A₁O，BO，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，所有棱長都為2，∠A₁AC=60°，則A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁O∩BO=O，由此能夠證明AC⊥A₁B．
（Ⅱ）當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時，點A₁到平面ABC的距離最大，此時A₁O⊥平面ABC．設平面ABC與平面A₁B₁C的交線為l，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，AB∥平面A₁B₁C，所以AB∥l．由此能夠求出平面A₁B₁C與平面ABC所成銳角的余弦值．

解答：（Ⅰ）證明：取AC的中點O，連接A₁O，BO，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
所有棱長都為2，∠A₁AC=60°，
則A₁O⊥AC，BO⊥AC，A₁O∩BO=O，…（2分）
所以AC⊥平面A₁BO而A₁B?平面A₁BO，
∴AC⊥A₁B．…（4分）
（Ⅱ）解：當三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積最大時，
點A₁到平面ABC的距離最大，
此時A₁O⊥平面ABC．…（6分）
設平面ABC與平面A₁B₁C的交線為l，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B₁∥AB，AB∥平面A₁B₁C，
∴AB∥l，…（8分）
過點O作OH⊥l交于點H，連接A₁H．由OH⊥l，A₁O⊥l知l⊥平面A₁OH，
∴l⊥A₁H，故∠A₁HO為平面A₁B₁C與平面ABC所成二面角的平面角．…（10分）
在Rt△OHC中，OC=

1

2

AC=1，∠OCH=∠BAC=60°，則OH=

3

2

，
在Rt△A₁OH中，A1O=2sin60°=

3

，A1H=

15

2

，cos∠A1HO=

OH

A1H

=

5

5

．…（12分）
即平面A₁B₁C與平面ABC所成銳角的余弦值為

5

5

．

點評：本題考查異面直線垂直的證明和平面A₁B₁C₁與平面ABC所成的銳角的余弦值．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．