Question

【題目】已知拋物線，過焦點(diǎn)作垂直于軸的直線，與拋物線相交于，兩點(diǎn)，為的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且的面積為4.

（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)，若點(diǎn)是拋物線上的任一動(dòng)點(diǎn)，則是否存在垂直于軸的定直線被以為直徑的圓截得的弦長為定值？如果存在，求出該直線方程和弦長，如果不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，直線方程為，弦長為2.

【解析】

（1）由，可求出，即可得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)存在直線：滿足條件，，從而可表示出以為直徑的圓的半徑和圓心，及圓心到直線的距離，則圓的弦長為，列出對(duì)應(yīng)的表達(dá)式即可得到當(dāng)時(shí)，弦長為定值。

解：（1）易得．

所以.

（2）設(shè)存在直線：滿足條件，

則的中點(diǎn)，

因此以為直徑的圓的半徑

點(diǎn)到直線的距離

所截弦長為

要使弦長與變量無關(guān)，則令即時(shí)，弦長為定值2，

這時(shí)直線方程為.

故存在垂直于軸的定直線，被以為直徑的圓截得的弦長為2.