Question

已知．
（1）若存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；
（2）若,求證：當時，恒成立；
（3）設，證明：.

Answer 1

（1）；（2）證明過程詳見試題解析；（3）證明過程詳見試題解析.

試題分析：（1）當時，∴. ∵ 有單調減區間，∴有解.分兩種情況討論有解.可得到的取值范圍是；（2）此問就是要證明函數在上的最大值小于或等于，經過求導討論單調性得出當時，有最大值，命題得證；（3）利用（2）的結論，將此問的不等關系，轉化成與（2）對應的函數關系進行證明.
試題解析：（1）當時，
∴. 
∵ 有單調減區間，∴有解，即
∵ ，∴ 有解.
（ⅰ）當時符合題意；
（ⅱ）當時，△，即。
∴的取值范圍是.
（2）證明：當時，設，
∴ .
∵，
討論的正負得下表：
 
∴當時有最大值0.
即恒成立.
∴當時，恒成立.
（3）證明：∵，
∴
 

 
由（2）有
∴.