Question

（2009•嘉定區一模）如圖，學校現有一塊三角形空地，∠A=60°，AB=2，AC=3（單位：m），現要在此空地上種植花草，為了美觀，用一根條形石料DE將空地隔成面積相等的兩部分（D在AB上，E在AC上）．
（1）設AD=x，AE=y，求用x表示y的函數y=f（x）的解析式，并寫出f（x）的定義域；
（2）如何選取D、E的位置，可以使所用石料最省？

Answer 1

分析：（1）由于DE將空地隔成面積相等的兩部分，所以可建立方程

1

2

•x•y•sinA=

1

4

•AB•AC•sinA，化簡即可得函數y=f（x）的解析式；
（2）選取D、E的位置，可以使所用石料最省，即必須使得DE最短，故利用余弦定理可表示出DE，再利用基本不等式確定最小值．

解答：解：（1）由題意得，S_△ADE=S_△ABC，
即

1

2

•x•y•sinA=

1

4

•AB•AC•sinA，…（4分）
解得y=

3

x

，…（5分）
所以f(x)=

3

x

，f（x）的定義域為[1，2]．…（7分）
（2）在△ADE中，由余弦定理得，DE²=AD²+AE²-2•AD•AE•cosADE²=x²+y²-2xycos60°=x²+y²-xy=x2+

9

x2

-3，x∈[1，2]，…（10分）
令x²=t，則t∈[1，4]，于是DE2=t+

9

t

-3≥6-3=3，…（12分）
當且僅當t=3，即x=

3

時，DE²取最小值

3

．…（13分）
所以，當D、E離點A的距離均為

3

m時（或AD=AE=

3

（m）時），DE最短，即所用石料最省．…（14分）

點評：本題的考點是解三角形的實際應用，主要考查三角形的面積公式，考查余弦定理，同時考查了基本不等式的運用，關鍵是函數關系式的建立，如何將實際問題轉化為數學問題．