【題目】已知
分別是橢圓
的左、右焦點，動點
在
上，連結
并延長
至
點，使得
，設點
的軌跡為
.
(1)求
的方程；
(2)設
為坐標原點，點
，連結
交
于
點，若直線
的斜率與直線
的斜率存在且不為零，證明: 這兩條直線的斜率之比為定值.
【答案】（1）
；（2）2
【解析】試題分析：（1）由橢圓方程可得焦點坐標為
，由
可得
，結合點
在
上可得
，設出
坐標，利用兩點間距離公式可得結果；（2）設
，直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，利用兩點間斜率計算公式可得
， 
滿足圓的方程， 
滿足橢圓的方程，當
時，可直接計算
，當
時，由點在直線
上，故斜率相等，平方結合等比定理化簡可得
，結合
，代入可得最后結果.
試題解析：（1）設橢圓
的長軸為
，短軸長為
，焦距為
，則
，所以
.因為
，所以
，又點
在
上，故
，所以
.設
，則
，化簡得
.所以
.
（2）設
，直線
的斜率為
，直線
的斜率為
，則
， 
，所以
.因為
，則
，同理
，當
時， 
或
，此時
.當
時，因為
在直線
上，則
，所以
，而
，因為
，所以
，又
，可得
，所以
.綜上，兩條直線的斜率之比為定值2.
數學奧賽暑假天天練南京大學出版社系列答案
南大教輔搶先起跑暑假銜接教程南京大學出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班學生進行了三次數學測試，第一次有8名學生得滿分，第二次有10名學生得滿分，第三次有12名學生得滿分，已知前兩次均為滿分的學生有5名，三次測試中至少又一次得滿分的學生有15名.若后兩次均為滿分的學生至多有
名，則
的值為（ ）
A. 7 B. 8 C. 9 D. 10
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對于在區間[m，n]上有意義的兩個函數f（x）與g（x），如果對任意x∈[m，n]均有|f（x）﹣g（x）|≤1，則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是接近的；否則稱f（x）與g（x）在[m，n]上是非接近的．現有兩個函數f1（x）=loga（x﹣3a），與f2（x）=loga 
（a＞0，a≠1），給定區間[a+2，a+3]．
（1）若f1（x）與f1（x）在給定區間[a+2，a+3]上都有意義，求a的取值范圍；
（2）討論f1（x）與f1（x）在給定區間[a+2，a+3]上是否是接近的？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司研發出一款新產品，批量生產前先同時在甲、乙兩城市銷售30天進行市場調查.調查結果發現：甲城市的日銷售量
與天數
的對應關系服從圖①所示的函數關系；乙城市的日銷售量
與天數的對應關系服從圖②所示的函數關系；每件產品的銷售利潤
與天數的對應關系服從圖③所示的函數關系，圖①是拋物線的一部分.
（Ⅰ）設該產品的銷售時間為
，日銷售量利潤為
，求的解析式；
（Ⅱ）若在
的銷售中，日銷售利潤至少有一天超過
萬元，則可以投入批量生產，該產品是否可以投入批量生產，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】三棱錐S﹣ABC中，∠SBA=∠SCA=90°，△ABC是斜邊AB=a的等腰直角三角形，則以下結論中： ①異面直線SB與AC所成的角為90°；
②直線SB⊥平面ABC；
③面SBC⊥面SAC；
④點C到平面SAB的距離是 
．
其中正確結論的序號是 ．
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