Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點．
（Ⅰ）證明：CD⊥AE；
（Ⅱ）證明：PD⊥平面ABE；
（Ⅲ）求二面角A﹣PD﹣C的正切值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA．
又CD⊥AC，PA∩AC=A，∴CD⊥面PAC，
∵AE面PAC，故CD⊥AE．
（Ⅱ）證明：由PA=AB=BC，∠ABC=60°，可得PA=AC，
∵E是PC的中點，∴AE⊥PC，
由（1）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，故AE⊥PD．
由（Ⅰ）知，AE⊥CD，且PC∩CD=C，所以AE⊥平面PCD．
而PD平面PCD，∴AE⊥PD．
∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD內的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD．
又∵AB∩AE=A，∴PD⊥面ABE
（Ⅲ）解：過點A作AM⊥PD，垂足為M，連接EM，則（Ⅱ）知，AE⊥平面PCD，AM在平面PCD內的射影是EM，則EM⊥PD，因此∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個平面角．
由已知，得∠CAD=30°．設AC=a，則PA=a，AD= ，PD= ，AE= ．
在直角△ADP中，∵AM⊥PD，∴AM×PD=PA×AD，∴AM= ．
在直角△AEM中，AE= ，AM= ，∴EM= a
∴tan∠AME= = ．
所以二面角A﹣PD﹣C的正切值為 ．

【解析】（Ⅰ）由PA⊥底面ABCD，可得 CD⊥PA，又CD⊥AC，故CD⊥面PAC，從而證得CD⊥AE；（Ⅱ）由等腰三角形的底邊中線的性質可得AE⊥PC，由（Ⅰ）知CD⊥AE，從而AE⊥面PCD，AE⊥PD，再由 AB⊥PD 可得 PD⊥面ABE；（Ⅲ）過點A作AM⊥PD，由（Ⅱ）知，AE⊥面PCD，故∠AME是二面角A﹣PD﹣C的一個平面角，用面積法求得AE和AM，從而可求 二面角A﹣PD﹣C的正切值．
【考點精析】本題主要考查了空間中直線與直線之間的位置關系和直線與平面垂直的判定的相關知識點，需要掌握相交直線：同一平面內，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內，沒有公共點；異面直線： 不同在任何一個平面內，沒有公共點；一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想才能正確解答此題．