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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學(xué) > 題目詳情

如圖，過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的頂點(diǎn)作兩條互相垂直的弦OA、OB．
（1）設(shè)OA的斜率為k，試用k表示點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（2）求弦AB中點(diǎn)M的軌跡方程．

（1）∵依題意可知直線OA的斜率存在且不為0
∴設(shè)直線OA的方程為y=kx（k≠0）
∴聯(lián)立方程

y=kx

y2=2px

解得xA=

，yA=

（4分）
以-

代上式中的k，解方程組

y=-

y2=2px

，解得x_B=2pk²，y_B=-2pk
∴A（

，

），B（2pk²，-2pk）（8分）
（2）設(shè)AB中點(diǎn)M（x，y），則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得

x=p(

+k2)

y=p(

-k)

（10分）
消去參數(shù)k，得y²=px-2p²；即為M點(diǎn)軌跡的普通方程．（12分）

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

如圖，在Rt△ABC中，

, BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，

．
（1）求證：AC是△BDE的外接圓的切線；
（2）若

，求EC的長(zhǎng)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C₁：（x+1）²+y²=1，圓C₂：（x-3）²+（y-4）²=1．
（Ⅰ）若過(guò)點(diǎn)C₁（-1，0）的直線l被圓C₂截得的弦長(zhǎng)為

，求直線l的方程；
（Ⅱ）圓D是以1為半徑，圓心在圓C₃：（x+1）²+y²=9上移動(dòng)的動(dòng)圓，若圓D上任意一點(diǎn)P分別作圓C₁的兩條切線PE，PF，切點(diǎn)為E，F(xiàn)，求

C1E

•

C1F

的取值范圍；
（Ⅲ）若動(dòng)圓C同時(shí)平分圓C₁的周長(zhǎng)、圓C₂的周長(zhǎng)，則動(dòng)圓C是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

（A題）已知點(diǎn)P是圓x²+y²=4上一動(dòng)點(diǎn)，直線l是圓在P點(diǎn)處的切線，動(dòng)拋物線以直線l為準(zhǔn)線且恒經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A（-1，0）和B（1，0），則拋物線焦點(diǎn)F的軌跡為（　　）

A．圓

B．橢圓

C．雙曲線

D．拋物線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知定點(diǎn)F₁（-

，0），F(xiàn)₂（

，0），動(dòng)點(diǎn)R在曲線C上運(yùn)動(dòng)且保持|RF₁|+|RF₂|的值不變，曲線C過(guò)點(diǎn)T（0，1），
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）M是曲線C上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作斜率分別為k₁和k₂的直線MA，MB交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求k₁•k₂的值；
（Ⅲ）直線l過(guò)點(diǎn)F₂，且與曲線C交于PQ，有如下命題p：“當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，△F₁PQ的面積取得最大值”．判斷命題p的真假．若是真命題，請(qǐng)給予證明；若是假命題，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，設(shè)P是圓x²+y²=2上的動(dòng)點(diǎn)，PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點(diǎn)，且|PD|=

|MD|，點(diǎn)A、F₁的坐標(biāo)分別為（0，

），（-1，0）．
（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

以拋物線y²=4x的焦點(diǎn)為右焦點(diǎn)的橢圓，上頂點(diǎn)為B₂，右頂點(diǎn)為A₂，左、右焦點(diǎn)為F₁、F₂，且|

F1B2

|cos∠B₂F₁F₂=

OB2

|，過(guò)點(diǎn)D（0，2）的直線l，斜率為k（k＞0），l與橢圓交于M，N兩點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若M，N的中點(diǎn)為H，且

∥

A2B2

，求出斜率k的值；
（3）在x軸上是否存在點(diǎn)Q（m，0），使得以QM，QN為鄰邊的四邊形是個(gè)菱形？如果存在，求出m的范圍；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

對(duì)于直線L：y=kx+1是否存在這樣的實(shí)數(shù)，使得L與雙曲線C：3x²-y²=1的交點(diǎn)A，B關(guān)于直線y=ax（a為常數(shù)）對(duì)稱？若存在，求k的值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C以雙曲線

-y2=1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以雙曲線的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于點(diǎn)M，N兩點(diǎn)（M，N不是左右頂點(diǎn)），且以線段MN為直徑的圓過(guò)橢圓C左頂點(diǎn)A，求證：直線l過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)．

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