【題目】已知橢圓
的離心率為
，左、右焦點分別為
、
，
為橢圓上異于長軸端點的點，且
的最大面積為
.
（1）求橢圓
的標準方程
（2）若直線
是過點
點的直線，且與橢圓交于不同的點
、
，是否存在直線
使得點、到直線
，的距離
、
，滿足
恒成立，若存在，求
的值，若不存在，說明理由.
【答案】（1）
；（2）存在，且
.
【解析】
（1）根據題意列出有關
、
、
的方程組，求出這三個量的值，即可得出橢圓
的標準方程；
（2）設直線
的方程為
，設點
、
，將直線的方程與橢圓方程聯立，并列出韋達定理，由
，得出
，通過化簡計算并代入韋達定理計算出
的值，即可得出直線
的方程，即可說明直線的存在性.
（1）設橢圓的焦距為
，且
的最大面積為
，則
，
由已知條件得
，解得
，因此，橢圓的標準方程為；
（2）當直線不與
軸重合時，設直線的方程為，設點、，
將直線的方程與橢圓方程聯立
，消去并整理得
，
，
由韋達定理得
，
.
，即，即
，
整理得
；
當直線與軸重合時，則直線與橢圓的交點為左、右頂點，設點
、
，
，
，由，得
，解得.
綜上所述，存在直線
，使得.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸，以相同的長度單位建立極坐標系．己知直線
的直角坐標方程為
，曲線C的極坐標方程為
．
（1）設t為參數，若
，求直線的參數方程和曲線C的直角坐標方程；
（2）已知：直線與曲線C交于A，B兩點，設
，且
，
，
依次成等比數列，求實數a的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】從某部門參加職業技能測試的2000名員工中抽取100名員工，將其成績（滿分100分）按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100）分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）估計該部門參加測試員工的成績的眾數中位數；
（2）估計該部門參加測試員工的平均成績；
（3）若成績在80分及以上為優秀，請估計該部門2000名員工中成績達到優秀的人數為多少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某種產品的質量以其質量指標值衡量，并依據質量指標值劃分等級如下表：
從某企業生產的這種產品中抽取200件，檢測后得到如下的頻率分布直方圖：
(1)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“一、二等品至少要占全部產品
”的規定？
(2)在樣本中，按產品等級用分層抽樣的方法抽取8件，再從這8件產品中隨機抽取4件，求抽取的4件產品中，一、二、三等品都有的概率；
(3)該企業為提高產品質量，開展了“質量提升月”活動，活動后再抽樣檢測，產品質量指標值
近似滿足
，則“質量提升月”活動后的質量指標值的均值比活動前大約提升了多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面四邊形ABCD中， AB＝2，BD＝
，AB⊥BC，∠BCD＝2∠ABD，△ABD的面積為2．
(1)求AD的長；
(2)求△CBD的面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
為奇函數.
（1）求常數
的值；
（2）判斷并用定義法證明函數的單調性；
（3）函數
的圖象由函數
的圖象先向右平移
個單位，再向上平移個單位得到，寫出的一個對稱中心，若
，求
的值.
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