Question

【題目】如圖：已知拋物線 C1：y2=2px （p＞0），直線 l 與拋物線 C 相交于 A、B 兩點，且當傾斜角為 60°的直線 l 經過拋物線 C1 的焦點 F 時，有|AB|= ．

（Ⅰ）求拋物線 C 的方程；
（Ⅱ）已知圓 C2：（x﹣1）2+y2= ，是否存在傾斜角不為 90°的直線 l，使得線段 AB 被圓 C2 截成三等分？若存在，求出直線 l 的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】【解答】（I）當直線l的傾斜角為60°時，直線l的方程為y= （x﹣ ），

聯立方程組 ，消元得3x2﹣5px+ =0，

∴|AB|= +p= ，解得p= ，

∴拋物線C的方程為y2= ．

（II）假設存在直線l，使得AB被圓C2三等分，設直線l與圓C2的交點為C，D，

設直線l的方程為x=my+b，A（x1，y1），B（x2，y2），

聯立方程組 ，得4y2﹣my﹣b=0，

∴y1+y2= ，y1y2=﹣ ，∴x1+x2=m（y1+y2）+2b= +2b，

∴AB的中點坐標為M（ +b， ），

又圓C2的圓心為C2（1，0），∴k = ，

即m2+8b﹣7=0，∴b= ．

又|AB|= = ．

∵圓心C2（1，0）到直線l的距離d= ，圓C2的半徑為 ，

∴|CD|=2 = ，

又|AB|= = ．C，D為AB的三等分點，

∴|AB|=3|CD|，

∴ = ，解得m=± ，∴b= ．

∴直線l的方程為y=± x+ ．

【解析】（I）聯立方程組，利用根與系數的關系和拋物線的性質列方程解出p；
（II）設直線l的方程為x=my+b，與拋物線方程聯立，求出AB的中點坐標，利用垂徑定理列方程求出m，b的關系。利用弦長公式計算求出|AB|，|CD|，根據|AB|=3|CD|解得m的值和直線l的方程。