Question

（Ⅰ）閱讀理解：
①對于任意正實數a，b，∵(

a

-

b

)2≥0， ∴a-2

ab

+b≥0，∴a+b≥2

ab

只有當a=b時，等號成立．
②結論：在a+b≥2

ab

（a，b均為正實數）中，若ab為定值p，則a+b≥2

p

，
只有當a=b時，a+b有最小值2

p

．
（Ⅱ）結論運用：根據上述內容，回答下列問題：（提示：在答題卡上作答）
①若m＞0，只有當m=

 

時，m+

1

m

有最小值

 

．
②若m＞1，只有當m=

 

時，2m+

8

m-1

有最小值

 

．
（Ⅲ）探索應用：
學校要建一個面積為392m²的長方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路（如圖）．問游泳池的長和寬分別為多少米時，共占地面積最小？并求出占地面積的最小值．

Answer 1

分析：（II）①利用閱讀材料，可知當m=

1

m

時，m+

1

m

有最小值；
②2m+

8

m-1

=2m-2+

8

m-1

+2，當2m-2=

8

m-1

時，2m+

8

m-1

有最小值；
（Ⅲ）設游泳池的長為x m，則游泳池的寬為

392

x

m，又設占地面積為ym²，依題意，得y=(x+8)(

392

x

+4)，整理運用所給結論，可求面積的最值．

解答：解：（II）①當m=

1

m

時，則m²=1，解得m=±1，
∵m＞0，
∴m=1，
∴m+

1

m

有最小值是2；…（3分）
②2m+

8

m-1

=2m-2+

8

m-1

+2
當2m-2=

8

m-1

時，則（m-1）²=4，解得m=3或-1，
∵m＞1，
∴m=3，
∴2m+

8

m-1

有最小值是10． …（6分）
（ III）設游泳池的長為x m，則游泳池的寬為

392

x

m，又設占地面積為ym²，依題意，
得y=(x+8)(

392

x

+4)…（8分）
整理y=424+4（x+

784

x

）≥424+224=648       …（10分）
當且僅當x=

784

x

即 x=28時取“=”．此時

392

x

=14
所以游泳池的長為28m，寬14m時，占地面積最小，占地面積的最小值是648 m²．      …（12分）

點評：本題是一個閱讀材料題，考查學生閱讀理解能力，考查學生接收新知識的能力，屬于中檔題．