Question

設f（x）是定義在區間（-∞，+∞）上以2為周期的函數，對k∈Z，用I_k表示區間（2k-1，2k+1]，已知當x∈I₀時，f（x）=x²．
（1）求f（x）在I_k上的解析表達式；
（2）對自然數k，求集合M_k={a|使方程f（x）=ax在I_k上有兩個不等的實根}

Answer 1

分析：（1）利用2為周期2k也是周期可得f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²即為所求．
（2）轉化為x²-（4k+a）+4k²=0在區間I_k上恰有兩個不相等的實根，再求有兩個不相等的實根成立的條件即可．

解答：解：（1）∵f（x）是以2為周期的函數，
∴當k∈Z時，2k也是f（x）的周期．
又∵當x∈I_k時，（x-2k）∈I₀，
∴f（x）=f（x-2k）=（x-2k）²．
即對k∈Z，當x∈I_k時，f（x）=（x-2k）²．
（2）當k∈Z且x∈I_k時，
利用（1）的結論可得方程（x-2k）²=ax，整理得：x²-（4k+a）+4k²=0．
它的判別式是△=（4k+a）²-16k²=a（a+8k）．
上述方程在區間I_k上恰有兩個不相等的實根的充要條件是a滿足

a(a+8k)＞0 2k-1＜ 1 2 [4k+a- a(a+8k) ] 2k+1≥ 1 2 [4k+a+ a(a+8k) ]

化簡得

a(a+8k)＞0，(1) a(a+8k) ＜2+a，(2) a(a+8k) ≤2-a，(3)

由（1）知a＞0，或a＜-8k．
當a＞0時：因2+a＞2-a，故從（2），（3）
可得

a(a+8k)

≤2-a，即

a(a+8k)≤(2-a)2 2-a＞0

當a＜-8k時：2+a＜2-8k＜0，
易知

a(a+8k)

＜2+a無解，
綜上所述，a應滿足0＜a≤

1

2k+1

故所求集合Mk={a|0＜a≤

1

2k+1

}

點評：本題借助于函數的周期性對函數解析式的求法和根的存在性'根的個數的判斷的綜合考查，是道中檔題．