Question

如圖，在長方體ABCD—A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，E為AB的中點，F為CC₁的中點.

（1）證明：B F//平面E CD₁
（2）求二面角D₁—EC—D的余弦值.

Answer 1

（1）證明：取CD₁中點G，連結FG得出且FG //BE；
由四邊形FG EB為平行四邊形得到BF //GE，證得B F//平面E CD₁；
（2）cos∠DED₁.

試題分析：（1）證明：取CD₁中點G，連結FG
∵F為CC₁的中點.D₁  ∴且FG //C₁D₁
∵且AB //C₁D₁∴且FG //BE
∴四邊形FG EB為平行四邊形∴BF //GE   4分
∵平面E CD₁    平面E CD₁
∴B F//平面E CD₁   7分
（2）連結DE
∵AD=AA₁=1，AB="2" ,  E為AB的中點
∴   9分
∵平面ABCD   ∴E C
又  平面E DD₁    平面E DD₁
∴平面E DD₁
∴ E D₁   11分
∴∠DED₁為二面角D₁—EC—D的平面角.    12分
中  ∴中
∴cos∠DED₁   14分
點評：中檔題，立體幾何題，是高考必考內容，往往涉及垂直關系、平行關系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟。解題過程中，注意轉化成平面幾何問題，是解決立體幾何問題的一個基本思路。