Question

已知一條直線l經過點P（2，1），且與圓x²+y²=10相交，截得的弦長為a．
（Ⅰ）若a=2

6

，求出直線l的方程；
（Ⅱ）若a=6，求出直線l的方程；
（Ⅲ）求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出圓的圓心與半徑，利用a=2

6

，垂徑定理求出求出直線的斜率，即可求出直線l的方程；
（Ⅱ）按照（Ⅰ）直接解得a=6，求出直線l的方程；
（Ⅲ）利用直線與圓的位置關系直接判斷求出a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）因為圓的圓心坐標（0，0），半徑為：

10

，
設直線的斜率為k，所以直線方程為：y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
若a=2

6

，由垂徑定理可得，(

|1-2k|

1+k2

)2=10-(

6

)2，
解得k=-

3

4

，所求直線l的方程為：3x+4y+10=0；
當直線的斜率不存在時直線的方程為：x=2，
故所求直線方程為：3x+4y+10=0或x=2
（Ⅱ）設直線的斜率為k，所以直線方程為：y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0
若a=6，由垂徑定理可得，(

|1-2k|

1+k2

)2=10-32，
解得k=

4

5

，或k=0，
所求直線l的方程為：4x-5y-3=0；或y=1．
（Ⅲ）因為點（2，1）在圓內，所以a的最大值為圓的直徑：2

10

，
當直線與OP垂直時，a的值最小，
OP=

22+12

=

5

，所求a的值為：2

( 10 )2-( 5 )2

=2

5

．
所以a的范圍是：[2

5

，

10

]．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，垂徑定理的應用，考查計算能力．