Question

已知雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，焦點到漸近線的距離為1．
（1）求雙曲線的方程；
（2）設直線y=kx+1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，求k的取值范圍；
（3）若另一條直線l經過點P（-2，0）及線段AB的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，知a=b，由雙曲線焦點（）到漸近線x±y=0的距離為1，知，由此能求出雙曲線方程．
（2）設A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得（1-k²）x²-2kx-2=0，因與左支交于兩點，則，由此能求出k的取值范圍．
（3）AB的中點為（），所以直線l的方程為（x+2），令x=0，得b==，由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（1）∵雙曲線C：=1（a＞0，b＞0）的離心率為，
∴a=b，
∵雙曲線焦點（）到漸近線x±y=0的距離為1，
∴，
解得a=b=1，
∴雙曲線方程為x²-y²=1．
（2）設A₁（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線y=kx+1代入雙曲線x²-y²=1，得
（1-k²）x²-2kx-2=0，
因與左支交于兩點，則
∴
解得1＜k＜．
（3）AB的中點為（），
即（），
∴直線l的方程為（x+2），
令x=0，得b==，
∵，
∴．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要認真審題，注意合理地進行等價轉化．