Question

如圖，在海岸線一側(cè)C處有一個(gè)美麗的小島，某旅游公司為方便游客，在上設(shè)立了A、B兩個(gè)報(bào)名點(diǎn)，滿足A、B、C中任意兩點(diǎn)間的距離為10千米。公司擬按以下思路運(yùn)作：先將A、B兩處游客分別乘車集中到AB之間的中轉(zhuǎn)點(diǎn)D處（點(diǎn)D異于A、B兩點(diǎn)），然后乘同一艘游輪前往C島。據(jù)統(tǒng)計(jì)，每批游客A處需發(fā)車2輛，B處需發(fā)車4輛，每輛汽車每千米耗費(fèi)2元，游輪每千米耗費(fèi)12元。設(shè)∠，每批游客從各自報(bào)名點(diǎn)到C島所需運(yùn)輸成本S元。

⑴寫出S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并指出的取值范圍；
⑵問中轉(zhuǎn)點(diǎn)D距離A處多遠(yuǎn)時(shí)，S最小？

Answer 1

（1）；（2）千米．

試題分析：（1）首先發(fā)現(xiàn)運(yùn)輸成本與路程有關(guān)，根據(jù)題意總運(yùn)輸成本為，下面就是想辦法把用表示出來，由于，因此在中，利用正弦定理就可以用表示出，而，因此表達(dá)式易求．（2）由（1）求出了為的函數(shù)，問題變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824031633147310.png" style="vertical-align:middle;" />為何值時(shí)，函數(shù)取得最小值，可以用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)加以解決，即求出，令，使的值一定函數(shù)的最值點(diǎn)，只是我們要考慮下是最大還是最小值而已，這個(gè)應(yīng)該是很好解決的．
試題解析：（1）由題在中，，
由正弦定理得，得
，        3分
∴
        7分
（2），令，得，        10分
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值．    12分
此時(shí)，，
∴中轉(zhuǎn)站距處千米時(shí)，運(yùn)輸成本最小．        14分