Question

【題目】已知函數， .

（1）當時，求函數的值域；

（2）如果對任意的，不等式恒成立，求實數的取值范圍；

（3）是否存在實數，使得函數的最大值為0，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)[0,2]；(2)(－∞，)；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：（1）由h(x)＝－2(log3x－1)2＋2，根據log3x∈[0,2]，即可得值域；

（2）由，令t＝log3x，因為x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，得(3－4t)(3－t)>k對一切t∈[0,2]恒成立，利用二次函數求函數的最小值即可；

（3）由，假設最大值為0，因為,則有，求解即可.

試題解析：

（1）h(x)＝(4－2log3x)·log3x＝－2(log3x－1)2＋2，

因為x∈[1,9]，所以log3x∈[0,2]，

故函數h(x)的值域為[0,2]．

（2）由，

得(3－4log3x)(3－log3x)>k，

令t＝log3x，因為x∈[1,9]，所以t＝log3x∈[0,2]，

所以(3－4t)(3－t)>k對一切t∈[0,2]恒成立，

令，其對稱軸為，

所以當時， 的最小值為，

綜上，實數k的取值范圍為(－∞，)．.

（3）假設存在實數，使得函數的最大值為0，

由.

因為,則有，解得，所以不存在實數，

使得函數的最大值為0.