Question

已知E、F是x軸上的點，坐標原點O為線段EF的中點，G、P是坐標平面上的動點，點P在線段FG上，|

.

FG

|=10，|

.

EF

|=6，(

.

PE

+

1

2

.

EG

)•

.

EG

=0
（1）求P的軌跡C的方程；
（2）A、B為軌跡C上任意兩點，且

.

OE

=α

.

OA

+(1-α)

.

OB

，M為AB的中點，求△OEM面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）取EG的中點為H，利用

PE

+

1

2

EG

=

PH

∴

PH

•

EG

=0推出|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6∴P點的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為10的橢圓
設其軌跡方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，求出a，c，b解得

x2

25

+

y2

16

=1即可．
（2）利用

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

推出A、B、E三點共線，設AB所在直線方程為x=my-3，結合韋達定理，求出S△DEM=

1

2

|

OE

||yM|的表達式

72

16|m|+ 25 |m|

利用基本不等式16|m|+

25

|m|

≥40，求出S_△DEM最大值為

9

5

．

解答：解：（1）取EG的中點為H，則

PE

+

1

2

EG

=

PH

∴

PH

•

EG

=0∴PH⊥GE∴PH是EG的垂直平分線（2分）∴|PE|=|PG|∴|PE|+|PF|=|GF|=10＞|EF|=6∴P點的軌跡是以E、F為焦點，長軸長為10的橢圓（4分）
設其軌跡方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，則2a=10，a=5，2c=6，c=3，b²=a²-c²=16∴

x2

25

+

y2

16

=1（5分）
（2）∵

OE

=α

OA

+(1-α)

OB

=α

OA

+

OB

-α

OB

∴

OE

-

OB

=α(

OA

-

OB

)
∴

BE

=α

BA

∴A、B、E三點共線
∵E（-3，0）設AB所在直線方程為x=my-3

x=my-3 x2 25 + y2 16 =1

整理關于y的方程為：（16m²+25）y²-96my-256=0（△＞0恒成立）
∴y1+y2=

96m

16m2+25

M點的縱坐標為yM=

y1+y2

2

=

48m

16m2+25

（9分）
∴S△DEM=

1

2

|

OE

||yM|=

1

2

×3×

48|m|

16m2+25

=

72|m|

16m2+25

=

72

16|m|+ 25 |m|

（10分）
∴當16|m|=

25

|m|

，即m=±

5

4

時，16|m|+

25

|m|

≥40，S_△DEM最大值為

9

5

．（12分）

點評：本題是中檔題，考查向量的數量積，三角形的面積公式，韋達定理，基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想，常考題型．