Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為

1

2

，以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+

3

y+3=0相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）E、F是橢圓C上的兩個動點，A(1，

3

2

)為定點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，證明直線EF的斜率為定值，并求出這個定值．

Answer 1

分析：（1）設橢圓的右焦點，根據以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+

3

y+3=0相切，即可確定橢圓的幾何量，從而可求橢圓的方程；
（2）設直線AE方程代入橢圓方程，利用點A(1，

3

2

)在橢圓上，可求E的坐標，利用直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，可求F的坐標，從而可得直線EF的斜率，問題得解．

解答：（1）解：設橢圓的右焦點為（c，0）
∵以右焦點為圓心，橢圓長半軸為半徑的圓與直線x+

3

y+3=0相切
∴

|c+3|

2

=a
∵e=

1

2

，∴a=2c
∴

|c+3|

2

=2c，∴c=1
∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴

x2

4

+

y2

3

=1
（2）證明：設直線AE方程：得y=k(x-1)+

3

2

，
代入橢圓方程，消元可得（3+4k²）x²+4k（3-2k）x+4(

3

2

-k)2-12=0
設E（x₁，y₁），F（x₂，y₂）．
因為點A(1，

3

2

)在橢圓上，
所以x₁=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，y₁=kx₁+

3

2

-k．
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數，在上式中以-k代k，
可得x₂=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，y₂=-kx₂+

3

2

+k．
所以直線EF的斜率k_EF=

y2-y1

x2-x1

=

1

2

．
即直線EF的斜率為定值，其值為

1

2

．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線斜率的求解，解題的關鍵是直線與橢圓方程聯立，確定點的坐標，屬于中檔題．