Question

4個不同的球，4個不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi).
（1）恰有1個盒不放球，共有幾種放法？
（2）恰有1個盒內(nèi)有2個球，共有幾種放法？
（3）恰有2個盒不放球，共有幾種放法？

Answer 1

(1) 144(2)144 (3)84

（1）為保證“恰有1個盒不放球”，先從4個盒子中任意取出去一個，問題轉(zhuǎn)化為“4個球，3個盒子，每個盒子都要放入球，共有幾種放法？”即把4個球分成2，1，1的三組，然后再從3個盒子中選1個放2個球，其余2個球放在另 外2個盒子內(nèi)，由分步計數(shù)原理，共有CCC×A=144種.
（2）“恰有1個盒內(nèi)有2個球”，即另外3個盒子放2個球，每個盒子至多放1個球，也即另外3個盒子中恰有一個空盒，因此，“恰有1個盒內(nèi)有2個球”與“恰有1個盒不放球”是同一件事，所以共有144種放法.
（3）確定2個空盒有C種方法.
4個球放進2個盒子可分成（3，1）、（2，2）兩類，第一類有序不均勻分組有CCA種方法；第二類有序均勻分組有·A種方法.
故共有C( CCA+·A）=84種.