Question

已知函數,設曲線在點()處的切線與軸線發點()()其中為正實數

(Ⅰ)用表示

(Ⅱ)求證：對于一切正整數，的充要條件是；

（Ⅲ）若=4，記,證明數列成等比數列，并求數列的通項公式

Answer 1

本題綜合考察數列、函數、不等式、導數應用等知識，以及推理論證、計算及解決問題的能力。

解：（Ⅰ）由題可得

所以過曲線上點的切線方程為，

即

令，得，即

顯然 ∴

（Ⅱ）證明：（必要性）

若對一切正整數，則，即，而，∴，即有

（充分性）若，由

用數學歸納法易得，從而，即

又 ∴

于是，

即對一切正整數成立

（Ⅲ）由，知，同理，

故

從而，即

所以，數列成等比數列，故，

即，從而

所以