Question

【題目】質量均勻的無底圓桶重，放在水平桌面上，如圖甲所示，內放甲、乙均勻圓球，每球重為、半徑為，桶的半徑為，且，若各接觸面間摩擦不計，試求為使圓桶不至于翻倒的最小值。如果桶有底呢？

Answer 1

【答案】，如果桶有底，桶不可能翻倒。

【解析】

方法1 小球甲受到三個力：重力、桶壁的支持力和乙球對甲球的彈力（沿兩球球心），如圖乙所示。

根據平衡條件可得，，

解得.

把甲、乙兩個球作為一個整體，如圖丙所示，由水平方向的平衡條件可知乙球在點受到的彈力。由牛頓第三定律可知，甲、乙兩球對桶壁的彈力的大小分別等于。對無底圓桶，取點為轉動軸時，將要翻時，僅處與對面有彈力，要使圓桶不致翻倒，由力矩平衡條件

，

從而，.

如果桶有底，則整體分析，由受力可知地面對整個桶底總有彈力，因此桶不可能翻倒。

方法2 如圖丁所示，把甲、乙兩個球作為一個整體，由豎直方向受力平衡可知地面對球乙的彈力大小為，將兩個球和桶作為整體分析，取點為轉動軸，將要翻時，僅處與地面有彈力。要使圓桶不致翻倒，由力矩平衡條件得

，

即，

解得.

如果桶有底，則整體分析，由受力可知地面對整個桶底總有彈力，因此桶不可能翻倒。