Question

【題目】從地球表面向火星發射火星探測器。設地球和火星都在同一平面上繞太陽做圓周運動，火星軌道半徑為地球軌道半徑的1.500倍。簡單而又比較節省能量的發射過程可分為兩步進行。第一步，在地球表面用火箭對探測器進行加速，使之獲得足夠的動能，從而脫離地球引力作用成為一個沿地球軌道運行的人造衛星。第二步，在適當時刻點燃與探測器連在一起的火箭發動機，在短時間內對探測器沿原方向加速，使其速度數值增加到適當值，從而使得探測器沿著一個地球軌道及火星軌道分別在長軸兩端相切的半個橢圓軌道正好射到火星上，如圖甲所示。

(1)為使探測器成為沿地球軌道運行的人造衛星，必須加速探測器，應使之在地面附近獲得多大的速度（相對于地球）？

(2)當探測器脫離地球并沿地球公轉軌道穩定運行后，在某年3月1日零時測得探測器與火星之間的角距離為，如圖乙所示。問：應在何年何月何日點燃探測器上的火箭發動機方能使探測器恰好落在火星表面？（時間計算僅需精確到日）已知地球半徑為，重力加速度可取。

Answer 1

【答案】同年的4月7日

【解析】

(1)設地球的質量為，探測器及其附加裝置的總質量為m，則探測器在地球表面的動能和引力勢能分別為

，

.

當探測器脫離地球引力作用成為沿地球軌道運動的人造行星時，可以認為探測器的引力勢能；相對于地球的速度為零，因而，由機械能守恒有

，

得.

代入數值得.

(2)為使探測器落到火星上，必須選擇適當時機點燃探測器上的火箭發動機，使得探測器沿橢圓軌道到達與火星軌道的相切點時，火星也恰好運行到這一點。為此，必須首先確定點燃火箭發動機時探測器與火星的相對位置，已知探測器在地球公轉軌道上運行周期與地球公轉周期相同，即

.

根據開普勒第三定律，火星的公轉周期為

.

而探測器的橢圓軌道上的半長軸為

.

所以探測器在橢圓軌道上的運行周期為

.

因此探測器從點燃火箭發動機至到達火星，需時間.

探測器在點燃火箭發動機前繞太陽轉動的角速度為

.

火星繞太陽轉動的角速度為

.

由于探測器運行至火星需時255d，火星在此期間運行的角距離為

.

即探測器在橢圓軌道近日點發射時，火星應在其遠日點的切點之前。亦即點燃火箭發動機時，探測器與火星的角距離應為，如圖丙所示。

已知某年3月1日零時探測器與火星的角距離為（火星在前，探測器在后）。為使其角距離成為，必須等待兩者在各自軌道中運行至某個合適的時機。

設兩者到達合適位置，探測器又經歷的天數為t，則

，

即.

故點燃火箭發動機的時刻應為當年的3月1日之后38天，即同年的4月7日。