Question

【題目】1844年，杰出的數學家和天文學家貝塞發現天狼星的運動偏離直線路徑的最大角度為，周期T為50年，且呈正弦曲線（與地球上觀察者的運動無關），如圖甲所示，貝塞推測天狼星運動路線彎曲是由于存在著一個較小的伴星（經過18年以后已為直接觀察所證實）。如果天狼星自身的質量M為，求伴星的質量與太陽質量M之比。

已知從天狼星看地球軌道半徑的張角為"；可以把天狼星和它的伴星的軌道看作圓形，且軌道平面垂直于太陽系到天狼星的方向。

Answer 1

【答案】

【解析】

畫出地球、天狼星及其伴星的運動軌道示意圖，如圖乙所示.

設天狼星質量為M，伴星質量為m，為天狼星與伴星之間的距離，分別為天狼星、伴星到它們質心C的距離。天狼星繞C做圓周運動，向心力由它與伴星間的萬有引力提供。設角速度為，則

，

所以有.

又由示意圖知.

由于都很小，所以

.

即有.

根據質心定理有，即.

所以有.

又地球繞太陽公轉，半徑為，周期年，有

，得.

進而，

即有，

解得.