Question

【題目】一根不可伸長的鋼索系在質量的輪船上。在時刻發動機開始拉鋼索，同時鋼索張力開始增大，達到最大值，然后保持恒定。如果輪船運動引起水的阻力與船速的平方成正比，求在時刻鋼索的最大張力。（輪船的加速度隨時間變化的圖像如圖所示）

Answer 1

【答案】

【解析】

在任何時刻輪船運動方程為，

式中為鋼索的張力，而為水的阻力與輪船速度的比例系數. 設在時刻輪船的加速度等于，速度等于，而鋼索拉力等于，則此時輪船的運動方程為

. ①

當鋼索張力在一段長時間保持恒定（）后，輪船的加速度將趨近零，其速度趨近于某一個值，則運動方程為

. ②

解①②方程組得到鋼索的最大張力為.

由于速度在數值上等于在時間內曲線所圍的面積，而速度在數值上等于在時間內曲線所圍的面積，則.

本題中輪船受到的阻力與速度的平方成正比，且輪船的運動是變加速的，-這類受力與運動在中學常規數學中只作定性討論，不作定量要求，而在競賽中，只要有可能求解，是不受此約束的.

運動圖像是圖像運用的基礎，但作為信息條件給出時，我們基本上是圍繞特殊點、斜率、截距、面積等來讀取信息，當然，要獲取這些信息的前提是知曉這些量所對應的物理意義，如本題圖像中，曲線與坐標軸所圍的面積即為輪船速度的變化.

此外，對于由不規則所圍的面積的計算一般都通過畫坐標格進行估算，本題的解答過程中并未給出這一估算的方法，但大家可以對圖形進行放大，并在坐標格上處理后，估算出，進而求解.