Question

【題目】將半徑為R的球面按如圖a所示方式等分成8份，取走7份，留下的1份使其均勻帶電，電荷面密度為，試求球心處電場強度的大小．

Answer 1

【答案】

【解析】

解析1 如圖b所示，以八分之一球面ABC部分為例，由對稱性可知，所求正（圖中未畫出）的方向線必過的中心，且垂直所在平面．將八分之一球面ABC分解為一系列小面元，每一小面元可看作平面的一部分。設為的法線與的夾角，由場疊加原理可得

既然垂直于所在平面，故也是的法線與平面法線的夾角，也就是與ABC平面的夾角。這樣，即為在ABC平面上的投影大小，便是八分之一球面ABC在ABC平面上的投影面積．注意，此投影面積并不等于的面積，但等于圖b中三個扇形ABO、BCO、CAO在ABC平面上的投影之和，由于對稱，這三個扇形的投影面積相同，因此有

其中為ABO平面與ABC平面之間的夾角．

設M為AB中點，有，，又因，便得

所以．

.

解析2 如圖c所示，均勻帶電半球面在球心O處的場強必沿x方向．在半Fx球面上取面積為的一小塊面元，電量是，它在O點產生的場強記為，我們（c）總可以將半球面繞x軸旋轉，使得在圖c的紙平面上，則

圖d的一個球面在O點的場強為，則的x軸分量與的關系是．由于對稱性，與x、y、之軸的夾角都相同，的三個分量、、大小（d）都相同．可以設想一個以、、為三條棱的立方體，那么即為立方體的對角線，因此