Question

【題目】如圖所示，軸右邊存在磁感應強度為的勻強磁場，軸左邊存在磁感應強度為的勻強磁場，它們的方同皆垂直紙面向里．在原點處，一個帶正電的電荷量為、質量為的粒子，在時以大小為的初速度沿正軸方向運動，在粒子開始運動后，另一質量和電荷量都與相同的粒子，從原點以大小為的初速度沿負軸方向開始運動．要想使和能在運動過程中相遇，試分析和計算它們出發的時間差的最小值，并求出與此對應的相遇地點的坐標．設整個磁場區域都處于真空中，且不考慮重力及、兩粒子之間的相互作用力．

Answer 1

【答案】；，

【解析】

帶電荷量為、質量為、初速度為的粒子，當它在磁感應強度為的勻強磁場中運動時，如果其初速度的方向與磁場方向垂直，由洛侖茲力和牛頓定律可知，它將在磁場中做勻速圓周運動．令和分別表示其周期和軌道半徑，則有

． ①

由此求得 ， ②

． ③

把這些結論用到本題中，可知粒子開始在第一象限中運動（軸以右），有

， ④

． ⑤

經半個周期（即）后，進入第二、三象限中（軸以左），周期和軌道半徑變為

， ⑥

． ⑦

以后就按此模式在平面內沿圖乙中的虛線運動．

同理，粒子開始在第三象限（軸以左）中運動，有

， ⑧

． ⑨

經半個周期（即）后，進入第四象限（軸以右）運動，周期和軌道半徑變為

， ⑩

．

以后就按此模式在平面內沿圖中實線運動．由以上分析可知，只要在右邊，不管是還是，周期皆為；只要在左邊，周期皆為．

由圖乙可見，只有在兩軌跡交叉或相切的那些點，才有相遇的可能性．為求得題中所說的時間差的最小值，下面我們先假設，如果、同時開始運動，分析經過哪個交叉或相切點時兩者的時間差最短，則這個時間差就應當等于題中所說的要、在此交叉或相切點能相遇時，兩者出發時間的時間差．為此，結合圖乙分別考查、的運動，經過分析就可看出，在到之間的那個交叉點（圖乙中的點）處，、通過它的時間差最短（在以前和以后的那些交叉或相切點，、通過時的時間差都較長）．

為了定量地求出此時間差，取負軸上距原點為（即）處為新的原點，如圖所示．取時間為新的起始計時時刻，對用表示，對用表示．在軸以左、的周期相同，所以角速度亦相同，以表示、在軸以左的角速度，有

．

對，有

，

．

對，有

，

．

對點應有

，．

由以上各式可解得所求的時間差應為

．

這個結果說明，如、同時出發，則比晚時間通過點．換成題目的要求，就應當說，要、相遇，則的出發時間應比晚．

由以上各式還可求得點的坐標為

，

．

換為坐標系，有

，

．

類似于本題中的粒子在軸方向的“漂移”運動，是研究帶電粒子在電場或磁場中運動時經常討論的問題之一．討論這一問題必然會涉及帶電粒子在運動過程中在時間與空間問題上的周期性討論，有時候這類問題看上去只是幾何關系的尋找，有點類似于行程與相遇問題而被我們輕視，但這一關系卻往往會成為我們解答問題的瓶頸．

處理這類問題，我們雖然有“跟著過程走”的口訣，但在具體的執行過程中，我們有時很難堅持做到．平時訓練時，對這類試題一定不要覺得 “簡單”而厭煩其過程分析，避免在考試時出現在心理上回避此類問題的情況．