Question

【題目】體溫計橫截面如圖所示，已知細水銀柱頂端離圓柱面頂點的距離為2R，R為該圓柱面半徑，C為圓柱面中心軸位置.玻璃的折射率，E代表人眼，求圖示橫截面上人眼所見水銀柱像的位置、虛實、正倒和放大倍數(shù).

Answer 1

【答案】像在體溫計外表后4R處，正立，虛像，放大倍數(shù)為3。

【解析】

先考慮主軸上物點發(fā)出的兩條光線，其一沿主軸方向入射界面，無偏折地出射，進入人眼.其二沿方向以入射角斜入射界面點，折射角為.折射光線要能進入人眼，點應非常靠近點，或者入射角和折射角應很小。若角度以弧度量度，在小角（近軸）近似下，折射定律可寫為.這兩條光線反向延長，在主軸上相交于，即為物之虛像點（如圖所示）.

對用正弦定律，得

.

在小角（近軸）近似下，有

，.

上式可寫為，

解上式得.

為了分析成像倒立和放大情況，將水銀柱看成有一定高度的垂軸小物體，既然是一對共軛點，只要選從發(fā)出的任一條光線經(jīng)界面折射后，反向延長線與過點垂軸線相交于，是物點的虛像點，即是物的正立虛像.選從點發(fā)出過圓柱面軸心的光線.該光線對界面來說是正入射（入射角為零），無偏折地出射，反向延長線交過垂軸線于，從得放大率為.

本題是單球面折射成像問題，此類問題雖然有現(xiàn)成的成像公式，但本題的解答仍然給出了詳細的推導，而這是大家必須熟練掌握的近軸成像的處理方法，希望讀者能認真地對待此類問題，能熟練地推導各類近軸光線的成像規(guī)律.