Question

【題目】如圖1，拋物線y=ax2﹣6x+c與x軸交于點A（﹣5，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點C（0，﹣5），點P是拋物線上的動點，連接PA、PC，PC與x軸交于點D．

（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）若點P的坐標為（﹣2，3），請求出此時△APC的面積；

（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點H，交直線AC于點E，如圖2．

①若∠APE=∠CPE，求證：=；

②△APE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣6x﹣5；（2）15；（3）證明見解析；（4）能，P（﹣1，0）或（﹣2，3）或（，﹣7﹣6）.

【解析】

試題分析：（1）把B、C坐標代入 解析式中可求得a，c的值，解析式即可求出；（2）過P作PQ⊥x軸交AC于點Q.由條件易求AC解析式.把P點橫坐標到直線AC解析式中求出Q點坐標.則△CPQ與△APQ面積可求出，從而△APC面積可求；（3）①易證AP=PD，AH=DH，△PHD ∽△COD，設OH=p.則PH=-p2+6p-5，DH=AH=5-p，OD=2p-5，利用=，求出p值，求的AH，OH的長，再根據平行線分線段成比例，得出=，可證明結論；②設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則E（x，﹣x﹣5），分類討論：當PA=PE，易得點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；當AP=AE，如圖2，利用PH=HE得到|﹣x2﹣6x﹣5|=|﹣x﹣5|，當E′A=E′P，如圖2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=x2+5x，則x2+5x= （x+5），然后分別解方程求出x可得到對應P點坐標．

試題解析：（1）把B（-1，0）、C（0，-5）坐標代入y=ax2﹣6x+c中，得，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2﹣6x﹣5；（2）設直線AC的解析式為y=mx+n，把A（﹣5，0），C（0，﹣5）代入得，解得，∴直線AC的解析式為y=﹣x﹣5，作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，則Q（﹣2，﹣3），∴PQ=3﹣（﹣3）=6，∴S△APC=S△APQ+S△CPQ=PQ5=×6×5=15；（3）①∵∠APE=∠CPE，PH⊥AD，∴AP=PD，∴AH=DH.設OH=p，則PH=-p2+6p-5，DH=AH=5-p，OD=2p-5. ∵∠PHD=∠DOC=90°，∠PDH=∠ODC，∴△PHD ∽△COD，∴=，∴，解得p1=，p2=5（舍去）.∴OH=，AH=.∵OC∥HE，∴==.②能．設P（x，﹣x2﹣6x﹣5），則E（x，﹣x﹣5），當PA=PE，因為∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，則點P與B點重合，此時P點坐標為（﹣1，0）；當AP=AE，如圖2，則PH=HE，即|﹣x2﹣6x﹣ 5|=|﹣x﹣5|，解﹣x2﹣6x﹣5=﹣x﹣5得x1=﹣5（舍去），x2=0（舍去）；解﹣x2﹣6x﹣5=x+5得x1=﹣5（舍去），x2=﹣2，此時P點坐標為（﹣2，3）；當E′A=E′P，如圖2，AE′= E′H′= （x+5），P′E′=﹣x﹣5﹣（﹣x2﹣6x﹣5）=x2+5x，則x2+5x= （x+5），解得x1=﹣5（舍去），x2=，此時P點坐標為（，﹣7﹣6），綜上所述，滿足條件的P點坐標為（﹣1，0），（﹣2，3），（，﹣7﹣6）．