Question

如圖是某科技小組設計的一個提升重物的裝置，CD是一個以O點為轉軸的水平杠桿，CO：OD=3：2。滑輪組固定在杠桿C點，通過固定在水平地面的電動機勻速提升重物，每個滑輪的質量均為m₀。放置在水平地面上的配重E通過細繩豎直拉著杠桿D點，使杠桿CD始終保持水平平衡，配重E的質量m_E為100kg。當電動機用拉力F₁勻速提升重物A時，滑輪組的機械效率為η₁，物體A勻速上升的速度為v₁；當電動機用拉力F₂勻速提升重物B時，滑輪組的機械效率為η₂，物體B勻速上升的速度為v₂。在勻速提升重物A、B的過程中，電動機的功率保持不變。已知F₂-F₁=50N，v₁:v₂=5:4，η₂=90%。細繩和杠桿的質量、滑輪與軸的摩擦均忽略不計，g取10N/kg。求：

（1）拉力F₁的大小；
（2）滑輪組的機械效率η₁；
（3）當電動機用拉力F₂勻速提升重物B時，配重E對地面的壓力N₂。

Answer 1

（1）200N （2）87.5% （3）137.5N

解析試題分析：（1）因為在勻速提升重物A、B的過程中，電動機的功率保持不變，所以：
P= F₁×3v₁= F₂×3v₂  解得：F₁:F₂=v₂:v₁=4:5 
又因為F₂- F₁=50N，所以F₁=200N， F₂=250N      
（2）以動滑輪和重物A整體為研究對象，進行受力分析，如圖所示。

3F₁=G₀ +G_A           ①
同理有              3F₂=G₀ +G_B           ②
當電動機用拉力F₂勻速提升重物B時，滑輪組的機械效率為η₂=90%

G_B:G₀=9:1            ③
由①②③聯立得：G_A=525N，G_B=675N，G₀=75N。
當電動機用拉力F₁勻速提升重物A時，滑輪組的機械效率為η₁
   
（3）當電動機用拉力F₂勻速提升重物B時，設滑輪組對杠桿C點的拉力為F_C2，配重E對杠桿D點的拉力為F_D2，地面對配重E的支持力為N₂。

以定滑輪為研究對象，進行受力分析，如圖所示，
F_C2=G₀ +2 F₂ =75N+2×250N=575N
以杠桿CD為研究對象進行受力分析，如圖所示，
F_C2×OC= F_D2×OD
解得F_D2 = F_C2×OC/OD=575N×3/2=862.5N
以配重E為研究對象，進行受力分析，如圖所示。
F_D2+N₂=G_E
得：N₂=G_E -F_D2=m_Eg -F_D2=100kg×10N/kg-862.5N=137.5N
考點：滑輪組機械效率，杠桿平衡條件，功率的計算