Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，M、N分別是邊AB、AC的中點，在射線MN上取點D，使∠ADM=∠BAC，連接AD．
（1）如圖1，當BC=3時，求DM的長．

（2）如圖2，以AB為底邊在AB的左側作等腰△ABE，并且使頂角∠AEB=2∠BAC，連接EM．

①判斷四邊形AEMD的形狀，并說明理由．
②設BC=x（x＞0），四邊形AEMD的面積為y，試用含x的式子表示y，并說明是否存在x的值，使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1中，

∵AM=MB，AN=NC，

∴MN∥BC，MN= BC= ，

∴∠ANM=∠C=90°，

∴∠AMN+∠MAN=90°，

∵∠MAN=∠D，

∴∠AMN+∠D=90°，

∴∠MAD=90°，

∵∠ANM=∠AND=90°，∠MAN=∠D，

∴△MAN∽△ADN，

∴ = ，

∴ = ，

∴DN=6，

∴DM=MN+DN= +6= ．

（2）

解：①如圖2中，結論：四邊形AEMD是平行四邊形．

∵EA=EB，AM=BM，

∴EM⊥AB，∠MEB=∠MEA，

由（1）可知AD⊥AB，

∴EM∥AD，

∵∠AEM+∠EAM=90°，

∵∠AEB=2∠BAC，

∴∠AEM=∠BAC，

∴∠BAC+∠EAM=90°，

∴∠EAC=90°=∠MNC，

∴AE∥DM，

∴四邊形AEMD是平行四邊形．

②∵△MAN∽△ADN，

∴ = ，

∴ = ，

∴DN= ，

∴DM=MN+DN= + ，

∴S四邊形AEMD=DMAN=（ + ）3= x+ ．

假設存在x，使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積，

則有 x+ = x6，

整理得x2﹣2x+36=0，

∵△=（﹣2）2﹣4×1×36＜0，

∴方程無解，假設不成立．

∴不存在使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積的x的值．

【解析】（1）只要證明△MAN∽△ADN，可得 = ，由此求出DN即可解決問題；（2）①結論：四邊形AEMD是平行四邊形．分別證明EM∥AD，AE∥DM即可；②由△MAN∽△ADN，可得 = ，即 = ，求出DN，即可解決問題．利用反證法證明不存在x的值，使得四邊形AEMD的面積等于△ABC的面積；
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解相似三角形的應用的相關知識，掌握測高：測量不能到達頂部的物體的高度，通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決；測距：測量不能到達兩點間的舉例，常構造相似三角形求解．