Question

【題目】如圖，在矩形中，，過矩形的對角線交點作直線分別交、于點，連接，若是等腰三角形，則____.

Answer 1

【答案】或

【解析】

連接AC，由矩形的性質得出∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，由ASA證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：

①當AE=AF時，設AE=AF=CF=x，則BF=6-x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；

②當AF=EF時，作FG⊥AE于G，則AG=AE=BF，設AE=CF=x，則BF=6-x，AG=x，得出方程x=6-x，解方程即可；

③當AE=FE時，作EH⊥BC于H，設AE=FE=CF=x，則BF=6-x，CH=DE=6-x，求出FH=CF-CH=2x-6，在Rt△EFH中，由勾股定理得出方程，方程無解；即可得出答案．

解：連接AC，如圖1所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，

∴∠OAE=∠OCF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：

①當AE=AF時，如圖1所示：

設AE=AF=CF=x，則BF=6-x，

在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（6-x）2=x2，

解得：x=，

即AE=；

②當AF=EF時，

作FG⊥AE于G，如圖2所示：

則AG=AE=BF，

設AE=CF=x，則BF=6-x，AG=x，

所以x=6-x，

解得：x=4；

③當AE=FE時，作EH⊥BC于H，如圖3所示：

設AE=FE=CF=x，則BF=6-x，CH=DE=6-x，

∴FH=CF-CH=x-（6-x）=2x-6，

在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x-6）2=x2，

整理得：3x2-24x+52=0，

∵△=（-24）2-4×3×52＜0，

∴此方程無解；

綜上所述：△AEF是等腰三角形，則AE為或4；

故答案為：或4．