Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O與邊BC、AC分別交于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若AE=4，cosA= ，求DF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，

，

∵OB=OD，

∴∠ODB=∠B，

又∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠ODB=∠C，

∵DF⊥AC，

∴∠DFC=90°，

∴∠ODF=∠DFC=90°，

∴DF是⊙O的切線．

（2）解：AG= AE=2，

∵cosA= ，

∴OA= = =5，

∴OG= = ，

∵∠ODF=∠DFG=∠OGF=90°，

∴四邊形OGFD為矩形，

∴DF=OG= ．

【解析】（1）證明：如圖，連接OD，作OG⊥AC于點G，推出∠ODB=∠C；然后根據DF⊥AC，∠DFC=90°，推出∠ODF=∠DFC=90°，即可推出DF是⊙O的切線．（2）首先判斷出：AG= AE=2，然后判斷出四邊形OGFD為矩形，即可求出DF的值是多少．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰三角形的性質的相關知識，掌握等腰三角形的兩個底角相等（簡稱：等邊對等角），以及對解直角三角形的理解，了解解直角三角形的依據：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數的定義．(注意：盡量避免使用中間數據和除法)．