Question

【題目】在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，P是CD邊上一點，連結PA，分別過點B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分別為點E，F，如圖①

(1)求證：BE＝DF＋EF；

(2)若點P在DC的延長線上，如圖②，上述結論還成立嗎？如果成立請寫出證明過程；如果不成立，請寫出正確結論并加以證明.

(3)若點P在CD的延長線上，如圖③，那么這三條線段的數量關系是 .(直接寫出結果)

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）上述結論不成立，正確結論為：DF=EF＋BE；（3）EF=BE+DF.

【解析】

（1）由BE垂直于AP，DF垂直于AP，得到一對直角相等，再由四邊形ABCD為正方形，得到AB=AD，且∠BAD為直角，利用同角的余角相等得到一對角相等，利用AAS得到三角形ABE與三角形DFA全等，利用全等三角形對應邊相等得到BE=AF，AE=DF，根據AF-AE=EF，等量代換即可得證；
（2）在圖②中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：DF=EF＋BE，理由同（1）；
（3）在圖③中BE、DF、EF這三條線段長度具有這樣的數量關系：EF=BE+DF，理由同（1）．

（1）證明：∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90°，

∴∠ADF+∠DAF=90°，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∵

∴△BAE≌△ADF(AAS)，

∴BE=AF，AE=DF，

∵AF=EF＋AE，

∴BE=DF＋EF.

（2）上述結論不成立，正確結論為：DF=EF＋BE；

∵BE⊥PA，DF⊥PA，

∴∠BEA=∠AFD=90，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴∠BAE+∠DAF=90°，

又∵∠AFD=90，

∴∠ADF+∠DAF=90，

∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中,

∴△BAE≌△ADF(AAS)，

∴BE=AF，AE=DF，

∵AE =EF＋AF，

∴DF =EF＋BE.

（3）EF=BE+DF.

理由為：∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠BEA=∠AFD=90°，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
又∵∠AFD=90°，
∴∠ADF+∠DAF=90°，
∴∠BAE=∠ADF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（AAS），
∴BE=AF，AE=DF，
∵AE+AF=EF，
∴EF=BE+DF．