Question

【題目】如圖，點A的坐標為（﹣8，0），點P的坐標為 ，直線y= x+b過點A，交y軸于點B，以點P為圓心，以PA為半徑的圓交x軸于點C．

（1）判斷點B是否在⊙P上？說明理由．
（2）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；并求拋物線與⊙P另外一個交點為D的坐標．
（3）⊙P上是否存在一點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣8，0）在直線y= x+b上，則有b=6，

∴點B（0，6），即OB=6，

在Rt△BOP中，由勾股定理得PB= ，則PB=PA，

∴點B在⊙P上

（2）

解：AC=2PA= ，則OC= ，點C ，

拋物線過點A、C，則設所求拋物線為y=a（x+8）（x﹣ ），代入點C ，則有a= ，

拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+6，

直線x= 是拋物線和圓P的對稱軸，點B的對稱點為D，由對稱可得D

（3）

解：當點Q在⊙P上時，有PQ=PA= ，

如圖1所示，假設AB為菱形的對角線，那么PQ⊥AB且互相平分，由勾股定理得PE= ，則2PE≠PQ，所以四邊形APBQ不是菱形．

如圖2所示，假設AB、AP為菱形的鄰邊，則AB≠AP，所以四邊形APQB不是菱形．

如圖3所示，假設 AB、BP為菱形的鄰邊，則AB≠BP，所以四邊形AQPB不是菱形．

綜上所述，⊙P上不存在點Q，使以A、P、B、Q為頂點的四邊形．

【解析】（1）把A（﹣8，0）代入y= x+b得到點B（0，6），即OB=6，根據勾股定理即可得到結論；（2）AC=2PA= ，則OC= ，點C ，得到拋物線的解析式為y=﹣ x2﹣ x+6，直線x= 是拋物線和圓P的對稱軸，于是得到結論；（3）當點Q在⊙P上時，有PQ=PA= ，如圖1所示，假設AB為菱形的對角線，如圖2所示，假設AB、AP為菱形的鄰邊，如圖3所示，假設 AB、BP為菱形的鄰邊，于是得到結論．
【考點精析】掌握勾股定理的概念是解答本題的根本，需要知道直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2．