Question

【題目】如圖，已知：E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，連接 CD，且交 OE 于點F．

（1）求證：OD=OC；

（2）求證：OE 是 CD 的垂直平分線；

（3）若∠AOB=60°，請你探究 OE，EF 之間有什么數量關系？并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）OE=4EF．

【解析】

（1）證明Rt△ODE≌Rt△OCE即可，（2）通過上一問得OD=OC，ED=EC即可證明，（3）根據30°角所對直角邊是斜邊一半即可得到關系。

證明：（1）∵點 E 是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別是 C，D，

∴DE=CE，∠EOD=∠EOC，

在 Rt△ODE 與 Rt△OCE 中，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC；

（2）∵Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，ED=EC，

∴點 O、點 E 在線段 CD 的垂直平分線上，

∴OE 是 CD 的垂直平分線；

（3）OE=4EF．

∵OE 是∠AOB 的平分線，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF．