Question

【題目】請用圖形變換（對稱、平移或旋轉）解決下列各題：

（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P是邊AD上的任意一點，則△BPC周長的最小值為　 ．

（2）如圖2，已知M（0，1）、P（2+，3）、E（a，0）、F（a+1，0），問a為何值時，四邊形PMEF的周長最小？

（3）如圖3，P為等邊△ABC內一點，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N為邊AB、AC上的動點，且AM＝AN，請直接寫出PM+PN的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）a＝時，四邊形PMEF周長最小；（3）PM+PN的最小值為．

【解析】

（1）如圖1（見解析），先根據軸對稱的性質、兩點之間線段最短得出周長最小時，點P的位置，再根據矩形的性質、直角三角形的性質求出CD的長，從而可得的長，然后利用勾股定理可得的長，由此即可得出答案；

（2）如圖2（見解析），要使四邊形PMEF的周長最小，只需最小；先利用平移、軸對稱的性質得出，再根據兩點之間線段最短得出最小時，點F的位置，然后利用待定系數法求出直線的解析式，從而可得a的值；

（3）如圖（見解析），先將繞點C順時針旋轉，利用旋轉的性質、勾股定理求出PA的長，再將繞點A逆時針旋轉，根據旋轉的性質、兩點之間線段最短確認最小時，點N的位置，然后根據等邊三角形的性質即可得出答案．

（1）如圖1，作點C關于直線AD的對稱點，連接交AD于，則

由軸對稱的性質、兩點之間線段最短可知，此時周長最小，最小值為

作于H

∴四邊形ADCH是矩形

在中，

則周長的最小值為

故答案為：；

（2）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，則只要最小，四邊形PMEF的周長將取得最小值

如圖2，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），連接

則，四邊形是平行四邊形

作點關于x軸的對稱點，連接

則，

由兩點之間線段最短得：當點共線時，最小，最小值為

設直線的解析式為

將點代入得

解得

則直線的解析式為

將點代入得

解得

故當時，四邊形PMEF周長最小；

（3）如圖3﹣1中，將繞點C順時針旋轉得到，連接PE

由旋轉的性質得：

是等邊三角形

如圖3﹣2中，將繞點A逆時針旋轉得到，連接PF，交AC于點D

由旋轉的性質得：

是等邊三角形，

由兩點之間線段最短得：當點N與點D重合時，最小，最小值為PF

故的最小值為．