Question

如圖，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），把△ABC沿直線BC翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D，拋物線y=ax²﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，頂點(diǎn)M在直線BC上．

（1）證明四邊形ABCD是菱形，并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）求拋物線的對(duì)稱軸和函數(shù)表達(dá)式；
（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得△PBD與△PCD的面積相等？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）證明：∵A（﹣6，0），B（4，0），C（0，8），
∴AB=6+4=10，。∴AB=AC。
由翻折可得，AB=BD，AC=CD。∴AB=BD=CD=AC。∴四邊形ABCD是菱形。
∴CD∥AB。
∵C（0，8），∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（10，8）。
（2）∵y=ax²﹣10ax+c，∴對(duì)稱軸為直線。
設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，
∴，解得。
∴直線BC的解析式為y=﹣2x+8。
∵點(diǎn)M在直線y=﹣2x+8上，∴n=﹣2×5+8=﹣2。
∴M（5，，－2）.
又∵拋物線y=ax²﹣10ax+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和M，
∴，解得。
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為。
（3）存在。點(diǎn)P的坐標(biāo)為P₁（），P₂（﹣5，38）

試題分析：（1）根據(jù)勾股定理，翻折的性質(zhì)可得AB=BD=CD=AC，根據(jù)菱形的判定和性質(zhì)可得點(diǎn)D的坐標(biāo)。
（2）根據(jù)對(duì)稱軸公式可得拋物線的對(duì)稱軸，設(shè)M的坐標(biāo)為（5，n），直線BC的解析式為y=kx+b，根據(jù)待定系數(shù)法可求M的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式。
（3）分點(diǎn)P在CD的上面下方和點(diǎn)P在CD的上方兩種情況，根據(jù)等底等高的三角形面積相等可求點(diǎn)P的坐標(biāo)：
設(shè)P,
當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面下方，根據(jù)菱形的性質(zhì)，知點(diǎn)P是AD與拋物線的交點(diǎn)，由A,D的坐標(biāo)可由待定系數(shù)法求出AD的函數(shù)表達(dá)式: ,二者聯(lián)立可得P₁（）；
當(dāng)點(diǎn)P在CD的上面上方，易知點(diǎn)P是∠D的外角平分線與拋物線的交點(diǎn)，此時(shí)，∠D的外角平分線與直線AD垂直，由相似可知∠D的外角平分線PD的斜率等于－2，可設(shè)其為，將D（10，8）代入可得PD的函數(shù)表達(dá)式: ,與拋物線聯(lián)立可得P₂（﹣5，38）。