Question

如圖，拋物線與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，已知點B的坐標為（3，0）．

（1）求a的值和拋物線的頂點坐標；
（2）分別連接AC、BC．在x軸下方的拋物線上求一點M，使△AMC與△ABC的面積相等；
（3）設N是拋物線對稱軸上的一個動點，d=|AN﹣CN|．探究：是否存在一點N，使d的值最大？若存在，請直接寫出點N的坐標和d的最大值；若不存在，請簡單說明理由．

Answer 1

（1）。拋物線的頂點坐標為（﹣，）。
（2）M點的坐標是（﹣9，﹣4）。
（3）在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大。理由見解析。

分析：（1）先把點B的坐標代入，可求得a的值，再利用配方法將一般式化為頂點式，即可求得拋物線的頂點坐標。
（2）先由拋物線的解析式，求出與x軸的交點A的坐標，與y軸的交點C的坐標，再由△AMC與△ABC的面積相等，得出這兩個三角形AC邊上的高相等，又由點B與點M都在AC的下方，得出BM∥AC，則點M既在過B點與AC平行的直線上，又在拋物線上，所以先運用待定系數法求出直線AC的解析式為y=x+2，再設直線BM的解析式為y=x+n，將點B（3，0）代入，求出n的值，得到直線BM的解析式為，然后解方程組，即可求出點M的坐標。
（3）連接BC并延長，交拋物線的對稱軸x=﹣于點N，連接AN，根據軸對稱的性質得出AN=BN，并且根據三角形三邊關系定理得出此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大．運用待定系數法求出直線BC的解析式，再將x=﹣代入，求出y的值，得到點N的坐標，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可。
解：（1）∵拋物線經過點B（3，0），
∴，解得。
∴。
∵，
∴拋物線的頂點坐標為（﹣，）。
（2）∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣，與x軸交于點A和點B，點B的坐標為（3，0），
∴點A的坐標為（﹣6，0）。
又∵當x=0時，y=2，∴C點坐標為（0，2）。
設直線AC的解析式為y=kx+b，
則，解得：。
∴直線AC的解析式為y=x+2。
∵S_△AMC=S_△ABC，∴點B與點M到AC的距離相等。
又∵點B與點M都在AC的下方，∴BM∥AC。
設直線BM的解析式為y=x+n，將點B（3，0）代入，得×3+n=0，解得n=﹣1。
∴直線BM的解析式為．
由，解得，。
∴M點的坐標是（﹣9，﹣4）。
（3）在拋物線對稱軸上存在一點N，能夠使d=|AN﹣CN|的值最大。理由如下：
∵拋物線與x軸交于點A和點B，
∴點A和點B關于拋物線的對稱軸對稱。
連接BC并延長，交直線x=﹣于點N，連接AN，則AN=BN，此時d=|AN﹣CN|=|BN﹣CN|=BC最大。

設直線BC的解析式為y=mx+t，將B（3，0），C（0，2）兩點的坐標代入，
得，解得：。
∴直線BC的解析式為y=x+2。，
當x=﹣時，y=-×（﹣）+2=3。
∴點N的坐標為（﹣，3），d的最大值為。