Question

【題目】如圖，⊙O的半徑r=25，四邊形ABCD內接于圓⊙O，AC⊥BD于點H，P為CA延長線上的一點，且∠PDA=∠ABD．
（1）試判斷PD與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若tan∠ADB= ，PA= AH，求BD的長；
（3）在（2）的條件下，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：PD與圓O相切．

理由：如圖，連接DO并延長交圓于點E，連接AE，

∵DE是直徑，

∴∠DAE=90°，

∴∠AED+∠ADE=90°，

∵∠PDA=∠ABD=∠AED，

∴∠PDA+∠ADE=90°，

即PD⊥DO，

∴PD與圓O相切于點D

（2）解：∵tan∠ADB=

∴可設AH=3k，則DH=4k，

∵PA= AH，

∴PA=（4 ﹣3）k，

∴PH=4 k，

∴在Rt△PDH中，tan∠P= = ，

∴∠P=30°，∠PDH=60°，

∵PD⊥DO，

∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°，

連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，

∴BD=DEcos30°= ；

（3）解：由（2）知，BH= ﹣4k，

∴HC= （ ﹣4k），

又∵PD2=PA×PC，

∴（8k）2=（4 ﹣3）k×[4 k+ （25 ﹣4k）]，

解得：k=4 ﹣3，

∴AC=3k+ （25 ﹣4k）=24 +7，

∴S四邊形ABCD= BDAC= ×25 ×（24 +7）=900+ ．

【解析】（1）首先連接DO并延長交圓于點E，連接AE，由DE是直徑，可得∠DAE的度數，又由∠PDA=∠ABD=∠E，可證得PD⊥DO，即可得PD與圓O相切于點D；（2）首先由tan∠ADB= ，可設AH=3k，則DH=4k，又由PA= AH，易求得∠P=30°，∠PDH=60°，連接BE，則∠DBE=90°，DE=2r=50，可得BD=DEcos30°= ；（3）由（2）易得HC= （ ﹣4k），又由PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（4 ﹣3）k×[4 k+ （25 ﹣4k）]，解此方程即可求得AC的長，繼而求得四邊形ABCD的面積．