Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，過B作BC⊥AB交⊙O于點C，過C作⊙O的切線交AB的延長線于點D，取AD的中點E,過E作EF∥BC交DC 的延長線與點F，連接AF并延長交BC的延長線于點G．

求證：（1）FC=FG （2）=BCCG．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析．

【解析】

試題分析：（1）由平行線的性質得出EF⊥AD，由線段垂直平分線的性質得出FA=FD，由等腰三角形的性質得出∠FAD=∠D，證出∠DCB=∠G，由對頂角相等得出∠GCF=∠G，即可得出結論；

（2）連接AC，由圓周角定理證出AC是⊙O的直徑，由弦切角定理得出∠DCB=∠CAB，證出∠CAB=∠G，再由∠CBA=∠GBA=90°，證明△ABC∽△GBA，得出對應邊成比例，即可得出結論．

試題解析：（1）∵EF∥BC，AB⊥BG，∴EF⊥AD，∵E是AD的中點，∴FA=FD，∴∠FAD=∠D，∵GB⊥AB，∴∠GAB+∠G=∠D+∠DCB=90°，∴∠DCB=∠G，∵∠DCB=∠GCF，∴∠GCF=∠G，∴FC=FG；

（2）連接AC，如圖所示：

∵AB⊥BG，∴AC是⊙O的直徑，∵FD是⊙O的切線，切點為C，∴∠DCB=∠CAB，∵∠DCB=∠G，∴∠CAB=∠G，∵∠CBA=∠GBA=90°，∴△ABC∽△GBA，∴，∴=BCBG．