Question

如圖，將矩形紙片ABCD沿其對角線AC折疊，使點B落到點B′的位置，AB′與CD交于點E．
（1）試找出一個與△AED全等的三角形，并加以證明；
（2）若AB=8，DE=3，P為線段AC上的一個動點，過點P作PG⊥AB′于點G，作PH⊥DC于點H，試判斷PG+PH的值是否為定值？若為定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

（1）△CEB′≌△AED．
證明：由折疊和四邊形ABCD為矩形可得：
AD=B′C，∠D=∠B′=90°，
在△CEB′和△AED中，

∠CEB′=∠DEA ∠B′=∠D B′C=AD

，
∴△CEB′≌△AED（AAS）．

（2）PG+PH的值是定值．
①當點P不與點A、C重合時，
延長HP交AB于點M，則PM⊥AB．
∵∠EAC=∠CAB，PG⊥AB′于點G，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD．
∵∠EAC=∠CAB，∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA．
∴AE=EC=DC-DE=AB-DE=8-3=5．
在Rt△ADE中，AD=

AE2-DE2

=

52-32

=4．
∴PG+PH=AD=4．
②當點P與點A重合時，點G與點A重合，點H與點D重合，
∴PG+PH=0+AD=4．
③當點P與點C重合時，點G與點B′重合，點H與點C重合，
∴PG+PH=B′C=BC=AD=4．
綜上說述，PG+PH的值是定值，且PG+PH=4．