Question

【題目】如圖1，已知△ABC和△EFC都是等邊三角形，點E在線段AB上．
（1）求證：AE=BF，BF∥AC；
（2）若點D在直線AC上，且ED=EC（如圖2），求證：AB=AD+BF；
（3）在（2）的條件下，若點E改為在線段AB的延長線上，其它條件不變（如圖3），請直接寫出AB、AD、BF之間的數量關系．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，∵△ABC和△EFC都是等邊三角形，

∴∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，

∴∠1=∠2，

在△ACE和△BCF中，

，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE=BF，且∠BAC=∠FBC=60°，

又∠ABC=60°，

∴∠A+∠ABC+∠FBC=180°，即∠A+∠ABF=180°，

∴AC∥BF

（2）解：證明：如圖2，過E作EM∥BC交AC于M，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEM=∠AME=60°，

∴△AEM是等邊三角形，

∴AE=EM=AM，

∴∠DAE=∠EMC=120°，

∵DE=CE，

∴∠D=∠1，

在△ADE和△MCE中，

，

∴△ADE≌△MCE（AAS），

∴AD=CM，

由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE=AM，

∵AC=AM+CM，

∴AC=BF+AD，

即AB=BF+AD

（3）解：AB、AD、BF之間的數量關系為：AB=BF﹣AD，

理由：如圖3，過E作EM∥BC交AC的延長線于M，

∵∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠AEM=∠AME=60°，

∴△AEM是等邊三角形，

∴AE=EM=AM，

∴∠DAE=∠EMC=60°，

∵DE=CE，

∴∠ADE=∠DCE，

∴∠ADE=∠ECM，

在△ADE與△MCE中，

，

∴△ADE≌△MCE（AAS），

∴AD=CM，

由（1）得△ACE≌△FCB，

∴BF=AE=AM，

∵AM=AC+CM，

∴AC=AM﹣CM，

∴AC=BF﹣AD，

即AB=BF﹣AD．

【解析】（1）根據等邊三角形的性質得到∠ACB=∠ECF=60°，AC=BC，CE=FC，推出△ACE≌△FCB，得到AE=BF且∠A=∠CBF=60°，于是得到∠A+∠ABF=180°，根據平行線的判定定理即可得到AC∥BF；（2）過E作EM∥BC交AC于M，得到△AEM是等邊三角形，求得AE=EM=AM，∠DAE=∠EMC=120°，根據全等三角形的性質，得到AD=CM，由（1）得△ACE≌△FCB，得到BF=AE，進而推出AB=BF+AD；（3）過E作EM∥BC交AC的延長線于M，推出△AEM是等邊三角形，根據等邊三角形的性質，得到∠DAE=∠EMC=60°，推出∠ADE=∠ECM，根據全等三角形的性質，得到AD=CM，等量代換即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用平行線的性質，掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補即可以解答此題．