Question

一個直角三角形的邊長都是整數，它的面積和周長的數值相等，這樣的直角三角形是否存在？若存在，確定它三邊的長，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：假設存在符合條件的直角三角形，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則

a2+b2=c2 a+b+c= ab 2

，于是將存在性問題的討論轉化為求方程組的解．

解答：解：假設符合條件的直角三角形存在，它的三邊長為a、b、c，其中c為斜邊，則

a2+b2=c2 a+b+c= ab 2

，
∵a、b、c均為正整數，
∴a≠b；不妨設a＞b，則有a+b+

a2+b2

=

ab

2

，
∴a+b-

ab

2

=

a2+b2

，
兩邊平方，得
a²+2ab+b²-ab（a+b）+

a2b2

4

=a²+b²
整理得：

a2b2

4

-a²b-ab²+2ab=0，
消去ab得：

ab

4

-a-b+2=0，即（a-4）（b-4）=8，
又∵8=1×8=2×4，
∴①

a-4=8 b-4=1

，解得

a=12 b=5

，則c=13；
②

a-4=4 b-4=2

，解得

a=8 b=6

，則c=10；
綜上所述，符合條件的直角三角形存在，其邊長分別是5、12、13；6、8、10．共有2個這樣的直角三角形．

點評：本題主要考查了一元二次方程的整數根及有理根、勾股定理的逆定理的應用．在解題過程中，當勾股定理不能直接運用時，常需要通過等線段的代換、作輔助垂線等途徑，為勾股定理的運用創造必要的條件，有時又需要由線段的數量關系去判斷線段的位置關系，這就需要熟悉一些常用的勾股數組．