Question

【題目】如圖一，∠ACB=90°，點D在AC上，DE⊥AB垂足為E，交BC的延長線于F，DE=EB，EG=EB，
（1）求證：AG=DF；
（2）過點G作GH⊥AD，垂足為H，與DE的延長線交于點M，如圖二，找出圖中與AB相等的線段，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DE=EB，EG=EB，DE⊥AB，

∴DE=EB=EG，

∴∠EGD=∠EDG=∠EDB=∠EBD=45°，

∴∠AGD=∠FDB=135°，

∵∠ACB=90°，∠AED=90°，∠ADE=∠FDC，

∴∠A=∠F，

∴∠ADG=∠FBD，

在△ADG和△FDB中

∴△ADG≌△FDB，

∴AG=DF；

（2）解：∵DE=EB，EG=EB，

∴DE=EB=EG，∵DE⊥AB，

在△AED和△FEB中，

∴△AED≌△MEB，

∴AE=EM，

∴AE+EB=EM+DE，

即AB=DM．

【解析】（1）根據已知條件得到DE=EB=EB，∠EGD=∠EGD=∠EDB=∠EBD=45°，進而證得∠AGD=∠FDB=135°，根據三角形內角和證得∠A=∠F，由三角形外角定理證得∠ADG=∠FBD，根據三角形的判定證得△ADG≌△FDB，由全等三角形的判定即可證得結論；（2）根據已知條件得到△AED≌△FEB，由全等三角形的性質得到AE=EM，即可得到結論．